잡담을 위한 소박한 장소

오늘은 그냥 쉬어가기로 매우 쉬운 적분을 하나 올립니다. 복소 테크닉으로 간단하게 풀리던가 안 풀리던가 기억은 잘 안나는 그런 적분입니다…. -_-ㆀ 목표는 위 적분을 계산하는 건데, 간단합니다. 0 < z < 1 이라고 합시다. 그러면 이므로, 양 변을 미분하고 16으로 나누면 을 얻습니다. 따라서 z = 1/4 를 대입하면 끝. 어때요. 참 쉽죠?

다음 급수 의 합을 구하는 것이 이번 계산의 목표입니다. 우선 a, b > 0 이고 c > 1/2 라고 합시다. 그러면 가 성립합니다. 여기서 우리가 원하는 케이스는 (a, b, c) = (2, 1, 3) 인 때라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 α > 1/2 에 대해 와 같이 정의하고 u = tanθ로 치환한 다음 Beta function identity를 적용하면 이 성립함을 어렵지 않게 알 수 있습니다. 이 식에 로그함수 미분법을 이 식에 적용해보면 이고, 다시 한번 로그함수 미분법을 적용해보면 다음 식을 얻습니다. 단, 여기서 ψ0 과 ψ1 은 각각 digamma function과 trigamma function입니다. 식 (1)의 좌변을 라이프니쯔 적분 공식을 이용해 계산해보면, S(a, b..