여러가지 잡담

하라는 시험공부는 안하고 망상만 하고 자고 뒹굴거리다가, 문득 떠오른 내용입니다.

이전에, '오늘의 계산 16'에서 한 가지 추측을 한 적이 있죠. 그 추측에 대한 힌트가 될 지도 모르는 몇 가지 이론적, 수치적인 관찰을 해봤습니다.


[정의] (1) f∈L¹(R)에 대해, f의 Fourier transform f^를 다음과 같이 정의합니다.

(2) 양수 R에 대해, Dirichlet kernel D_R을 다음과 같이 정의합시다.

[정리] f가 L¹(R)에 속하고 미분 가능하면, f와 D_R의 convolution f＊D_R이 f로 pointwise converge합니다.


[정리] f가 L¹(R)∩C(R)에 속하고, 어떤 ε>0 에 대하여 growth condition |f(x)| ≤ (1+|x|)^-1-ε 을 만족시키고, f^의 support가 [-1/2, 1/2]에 속하면, 다음의 reconstruction formula가 성립합니다.

위의 사실들로부터, 저의 추측은 다음과 같이 바꿔쓸 수 있습니다.

[추측] 양수 α에 대하여 f(x) = α!/(x!(α-x)!) 로 둘 때, 다음 사실 중 하나가 참이라면, 원하는 공식이 증명됩니다.
(1) f^의 support는 [-1/2, 1/2]에 속한다.
(2) f＊D₁ = f 이다.

물론 두 추측 모두 계산을 통해서 심증을 갖고 있지만, 적분의 특성상 오차가 좀 있어서 어쩌면 틀릴 수도 있습니다. 그래도 전 성립한다고 믿고 있습니다.


p.s. 2009/3/17 일에 이 문제를 해결하였습니다. 자세한 내용은 오늘의 계산 23을 참조하세요.