Step 1)  감마함수 Γ(1+z) 의 테일러 전개를 구해보자. Re(z) > -1 일 때, 르벡의 dominated convergence theorem을 이용하면



가 성립한다. 한편 우변의 극한 내의 적분을 t = n·sin2u 로 치환하여 계산해보면



이고, 이 식을 다시 풀어보면



임을 알 수 있다. 따라서, |z|<1 일 때



임을 알 수 있다.



Step 2)  베르누이 수의 정의를 알아보자. 0 이상의 정수 n에 대해 정의되는 베르누이 수 Bn은 다음과 같은 generating function에 의해 정의할 수 있다.



대표적인 베르누의 수의 값에는

B0 = 1
B1 = -1/2
B2 = 1/6
B4 = -1/30
B6 = 1/42

등이 있다.



Step 3)  이제 짝수 값에서의 제타함수의 값을 구해보자. 여기서 z를 0<z<1 을 만족하는 실수로 한정하면,



가 성립한다. 여기서 세 번째 등호는 오일러의 reflexion formula에 의한 것이며, 마지막 등호는 실수 x에 대해 eix의 절대값이 1임을 이용한 것이다. 한편 등식



로부터



임을 얻는다. 이제



와 위에서 구한 식을 비교하면 다음과 같은 최종적인 결과를 얻는다.


Posted by aficionado

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  1. ks0830 2011.08.06 23:25  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘보고 갑니다. 너무 어렵네요ㄷㄷ

  2. 대영 2014.05.23 22:38  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ㅎㅎ 짝수에 대한 것을 찾고 있었는데~~잘보고갑니다~근데 이거말고도 적분의 계산에 대해 상당한 실력을 가지고 있는듯 하네요~^^보고
    저두 따라서 계산을 배우려...ㅋㅋ