오늘의 계산 05

그냥 형태가 재미있는 적분을 하나 소개합니다.

그리고 아래도 역시 재미있는 식.

$\begin{eqnarray*} & & \int_{0}^{\infty} \sinh^{-1}\left( \frac{1}{\sinh x} \right) \, dx\\ & = & \int_{0}^{\infty} \frac{y}{\sinh y} \, dy \quad \quad (\text{where } \sinh x \sinh y = 1 )\\ & = & \int_{0}^{\infty} \frac{2ye^{-y}}{1 - e^{-2y}} \, dy\\ & = & \int_{0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} 2y e^{-(2n+1)y} \, dy\\ & = & \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} 2 y e^{-(2n+1)y} \, dy\\ & = & \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(2n+1)^2}\\ & = & \frac{\pi^2}{4} \end{eqnarray*}$ $\int_{0}^{\infty} \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sinh x} \right) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sinh^{-1} \left( \frac{1}{\tan x} \right) \, dx = 2K$