그동안 퀄 준비하느랴 기타 이런저런 처리할 것들이 많아서 블로그를 거의 방치에 가깝게 버려뒀었는데, 이제 다시 관심 좀 부어야겠네요.

그런 의미에서 어제 저녁에 살짝 증명한 등식.

Proposition. The following holds:[1] \begin{align*} \int_{0}^{\infty} \Gamma(0, x)^{2} \log x \, dx = -\zeta(2) - \log^{2} 2 - 2(\gamma + 1)\log 2, \end{align*} where $\Gamma(s, z) = \int_{z}^{\infty} t^{s-1}e^{-t} \, dt$ is the incomplete gamma function.

Sketch of Proof. This easily follows once we prove that \begin{equation} \label{eq_1} \int_{0}^{\infty} x^{s-1} \Gamma(0, x)^{2} \, dx = \frac{2\Gamma(s)}{s} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{u^{s-1}}{1 - u} \, du, \end{equation} which can be evaluated using calculus level techniques as in [2].
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Corollary. For $s, p, q, a, b > 0$, we have \begin{align*} & \int_{0}^{\infty} z^{s-1} \Gamma(p, az) \Gamma(q, bz) \, dz \\ &\hspace{3em} = \frac{\Gamma(s+p+q)}{s} \left\{ a^{-s} \beta\left( \frac{a}{a+b}; s+p, q\right) + b^{-s} \beta\left(\frac{b}{a+b}; s+q, p\right) \right\}, \end{align*} where $\beta(z; p, q) = \int_{0}^{z} u^{p-1}(1-u)^{q-1} \, du$ is the incomplete beta function.

References

  1. Laila Podlesny, A closed form for $\int_0^1\frac{\ln(-\ln x)\ \operatorname{li}^2x}{x}dx$ - Math StackExchange
  2. Vladimir Reshetnikov, Conjectural closed form for $\int_0^\infty\sqrt[3]z\ \operatorname{Ei}^2(-z)\,dz$ - Math StackExchange
Posted by aficionado

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  1. Leun Kim 2013.10.06 06:30  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    끙.. 계산력은 여전하시군요! 거기도 10월부터인가 보군요.

  2. 2013.10.11 20:43  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    • aficionado 2013.10.12 09:35 신고  댓글주소  수정/삭제

      분야마다 다릅니다.

      저처럼 수학 분야는 어차피 유학 간 대학원 측에서 학비 면제 및 기본 stipend를 주기 때문에, 학비 명목으로 지원을 해 주는 장학금을 별도로 받아갈 경우 오히려 서로 충돌이 일어나서 죽도 밥도 안 될 수도 있습니다. 삼성 장학금이 이러한 예에 속합니다. (그렇지만 공대 유학을 가신다면 삼성 장학금이 아주 좋은 선택이 되겠지요.) 고등교육재단에서는 수학 분야와 같은 이론 연구 분야에는 연구지원비 명목으로 그냥 생돈 10000$를 지급해줍니다. 학교에서 지원해주는 돈과 겹치지 않아서 좋지요. 그리고 관정이종환장학금도 금액이 세고 협상이 비교적 잘 되기 때문에 도전해볼 만 합니다.

      그리고 보통 장학금은 매년 심사를 해서 최대 4-5년간 지급합니다. 뭐 쉽게 말해서, 개판치지 않고 성실히 잘 공부하면 최소 4년 이상은 장학금을 받을 수 있다는 뜻이지요.

      그리고 미국 장학금 구조는 저도 잘 모르겠네요;; 굳이 찾아본 적이 없어서...