고등학교 때 끄적인 삽질.

고딩때 독서실에서 하라는 시험공부는 안 하고 노트에 끄적였던 내용이 문득 떠올라서, 조금 다듬어서 올려봅니다.

Definition 1.네 행렬 \(U\), \(I\), \(J\), \(K\)를 다음과 같이 정의한다. \begin{equation} U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad K = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation}

그러면 다음과 같은 관찰을 할 수 있습니다.

Lemma 2.다음 식이 항상 성립한다. \begin{equation} IJ = -JI = K, \qquad JK = -KJ = -I, \qquad KI = -IK = J, \end{equation} \begin{equation} -I^2 = J^2 = K^2 = U, \qquad IJK = JKI = KIJ = U. \end{equation}

증명이야 뭐 계산노가다이므로 생략합니다. 하지만 \(I\), \(J\), \(K\)가 각각 일차변환으로서 '반시계방향으로 90도 회전', '\(x\)축 대칭', '\(y = x\) 대칭' 임을 생각해보면, 의외로 기하학적으로 쉽게 논증할 수도 있겠지요?

이제 임의의 2차 정사각행렬 \(A\)를 $$ A = aU + bI + cJ + dK$$ 로 적을 수 있습니다. 이때 다음과 같은 정의를 내립시다.

Definition 3.행렬 \(A\)에 대하여, 그 수반행렬(adjugate matrix) \( \bar{A} \)를 다음과 같이 정의한다. \begin{equation} \bar{A} = aU - (bI + cJ + dK) = aU - bI - cJ - dK \label{def:adj} \end{equation} 그리고 \( aU \)를 \(A\)의 실수부, \( bI + cJ + dK \)를 \(A\)의 허수부라고 한다.

즉, 수반행렬은 복소수에 비유하면 켤레복소수와 같은 개념입니다. 이때 수반행렬은 다음과 같은 성질을 지니고 있습니다. \begin{equation} \overline{AB} = \bar{B}\bar{A}, \end{equation} \begin{equation} A\bar{A} = \bar{A}A = (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)U. \end{equation} 증명은 위의 보조정리(Lemma) 2와 계산노가다로부터 쉽게 얻어집니다. 그러므로

Definition 4.행렬 \(A\)에 대하여, 행렬식(determinant) \(\det(A)\)를 다음과 같이 정의한다. \begin{equation} \det(A) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2. \label{def:norm} \end{equation}

라고 정의하면, 다음과 같은 성질을 얻습니다.

1. \( \det(AB) = \det(A)\det(B) \)
2. \( A \)가 역행렬을 가질 필요충분조건은 \( \det A \neq 0 \)인 것이다. 특히 \( \det A \neq 0 \)이면 다음이 성립한다. \begin{equation} A^{-1} = \frac{1}{\det A} \bar{A}. \end{equation}

첫 번째 결과는 \begin{equation*} \det (AB)U = AB \overline{AB} = AB\bar{B}\bar{A} = \det(A)\det(B)U \end{equation*} 로부터 바로 따라나오며, 두 번째 결과는 \begin{equation*} A\bar{A} = \bar{A}A = (\det A) U \end{equation*} 로부터 따라나옵니다.

한편, 역시 보조정리 2를 이용한 약간 수고스러운 계산으로부터, 우리는 다음과 같은 사실을 얻을 수 있습니다.

Theorem 5.두 행렬 \(A\)와 \(B\)에 대하여, \(AB = BA\)일 필요충분조건은 \(A\)의 허수부와 \(B\)의 허수부가 평행한 것이다.

뭔가 더 이론을 전개할 수도 있을 것 같은데, 뭐 고등학교 때 끄적인 거니까 별로 생각이 깊질 못해서 이 정도까지군요. -.-;;

아, 혹시 이런 비슷한 내용을 어디서 보신 분들은 제보 부탁드립니다. -ㅁ-;;