S³ = R³∪{∞} 은 토러스에 의해 두 영역으로 나뉩니다. 정확히 말하자면, 시각적으로 말하자면 토러스의 안쪽 해당하는 영역인 A와 바깥에 해당하는 영역인 B로 나뉩니다. 이때 A와 B는 위상적으로 똑같습니다. 즉, 영역 A가 도넛 형태를 갖고 있듯이, 영역 B도 결국 도넛과 같은 형태입니다!

아 래 이미지는 이를 시각적으로 보여주는 GIF입니다. X = R³∪{∞} 이라고 하고, 이때 연속함수 f : X → X 를 f(x) = x/|x|² 으로 정의합시다. 물론, f(0) = ∞ 이고 f(∞) = 0 입니다. 이때 아래 GIF는 원점을 내부 영역에 포함하고 있는 첫번째 컷의 토러스가 연속적으로 변화하여 마지막 컷에서와 같은 토러스로 변환하는 것을 보여주고 있습니다.

그 림을 잘 보면 도형이 토러스 -> 원 -> 토러스 로 변함을 알 수 있습니다. 사실 이미지에서 안과 밖을 구분하여 그리지 않아서 그렇지만, 토러스 -> 원 -> 토러스로 변하는 과정을 거치면서, 처음의 토러스 안쪽 부분은 최종적으로 바깥쪽 부분이 되고, 바깥쪽 부분은 최종적으로 토러스 안쪽이 됩니다. 말 그대로 안과 밖을 까뒤집은 것이지요. 그러므로, 3차원 공간에 무한점을 추가할 경우, 토러스의 안쪽 영역 A와 바깥쪽 영역 B는 위상적으로 똑같습니다.


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