오늘의 계산 13 - Integration Involved with Zeta Function

더운 방 안에 쳐박혀서 땀을 뻘뻘 흘리며 1시간 반 동안 계산한 끝에 얻은 결과입니다. 마치 프라모델광이 방에 쳐박혀 프라모델을 조립해 어엿한 1/100 MG 자×를 만들어내는 것과 비슷한 마음으로 풀었습니다. (이녀석, 위험하다... (˚;ε;˚;)a)

단, 여기서 γ₁은 스틸체스 상수(Stieltjes constant) 입니다. 이런 상수가 있다는 건 알고 있었지만, 실제로 계산할 때에 바로 이 상수가 저 자리에 들어간다는 걸 깨닫지는 못했습니다. 그래서 이 상수의 값을 결정하기 위해 1시간동안 삽질을 했죠. 원래 제가 얻은 결과는

입니다. 단,

입니다. 처음 1시간동안은 c가 closed form으로 나타날 거라고 믿고 계산질을 했지만, 결과는 ㅇ<-<. 나머지 시간은 디리클레 에타함수와 리만 제타함수 사이의 관계성을 이용해서 c가 결국 -γ₁임을 밝히는 데 사용했습니다.



이제 주어진 등식을 증명해봅시다. 일단 기본적인 실해석 지식과 감마, 제타함수의 기본적인 성질은 알고 있다고 가정하겠습니다. 또한 다음과 같은 사실들이 필요합니다.


Theorem 1  실수 s > 0 에 대해, 디리클레 에타함수(Dirichlet eta function)을

와 같이 정의하면, η는 무한 번 미분 가능하고, 그 n계 도함수는 위 무한급수의 각 항을 n번 미분하여 얻을 수 있다. 증명은 첨부파일 참조.

invalid-file

Theorem 2  f 가 [0, 1]위에서 정의된 C¹함수이면, 다음 사실이 성립한다.

증명은 테일러 정리(Taylor's theorem)의 간단한 응용이므로, 생략한다.


Theorem 3  함수 I(s)를 와 같이 놓으면, 이 성립한다. 또한 I(s)의 n계 도함수는, 이 함수를 정의하는 적분식의 피적분함수의 s에 대한 n계 편미분을 적분한 결과와 같다. 증명은 각각 토넬리 정리(Tonelli's theorem)와 르벡 수렴정리(Lebesgue's dominated convergence theorem)의 응용이므로, 생략한다.


Theorem 4  감마함수와 관련하여, 폴리감마함수(polygamma function)를 와 같이 정의하자. 그러면 이고 이다. 단, 는 오일러-마스케로니 상수(Euler-Mascheroni constant)고 이다.


정리 1과 3을 이용하면, 우리가 구하려는 적분은 와 같음을 알 수 있으므로, 다음 식이 성립한다.

그러므로, η(1), η'(1), η''(1)의 값을 결정하기만 하면 원하는 적분의 값을 얻는다. 여기서 η(1)의 값을 구하는 것은 너무 쉬우므로 생략한다. 이때 만약

와 같이 두면, 다음 두 식이 성립한다.





정리 2를 적용하면서 양 변에 n→∞ 의 극한을 취하면, 다음 두 식을 얻는다.

           

단, 여기서 c는 맨 앞에서 정의한 극한이며, 이 극한이 수렴함은 그래프를 통한 간단한 기하학적 고찰로도 충분히 확인할 수 있다. (물론, 순수히 해석적인 증명도 가능하다.) 그러므로 위 값들을 대입하여 계산하면, 최종적으로 우리가 원하는 적분의 값은

가 된다.

한편, 로 정의하면, 리만 제타함수와 디리클레 에타함수 사이의 간단한(정말로?) 관계에 의해 식 이 성립함을 알 수 있다. 그러므로 스틸체스 상수의 정의에 의해 가 성립한다.