오늘의 계산 19 - A Fourier Coefficient Of A Singular Measure

어제 친한 형과 대화하던 도중 나온 적분문제인데, 대수위상 시험도 끝났겠다 해서 푹 자고 일어나서 한번 계산해봤습니다. 그리고 요즘 마침 MathLinks에서 적분 떡밥이 안 올라오는 터에 좋은 기회다 싶어서, 이 허접한 계산을 포스팅 거리로 삼아봤습니다. 어디서 이런 입가심거리도 안되는 계산따위를 올리냐! 하고 구박하셔도 할 말은 없지만, 그렇다고 블로그가 정체되는 것도 좀 거시기해서 말이죠 -.-a

 

실수 0<α<1 을 하나 고정하고 β = (1-α)/2 로 두자. 그리고 귀납적으로 집합열 C_n (n = 0, 1, …)을 다음과 같이 정의하자.

• C₀ = [0, 1]
• C_n이 2ⁿ개의 길이 βⁿ짜리 서로소인 폐구간들의 합집합일 때, 각각의 폐구간에서 중심을 공유하고 길이가 βⁿα 인 개구간을 떼어내어 얻은 2ⁿ⁺¹개의 길이 βⁿ⁺¹짜리 서로소인 폐구간들의 합집합을 C_n+1로 둔다.

그러면 C_n은 비어있지 않은 컴팩트 집합들의 감소수열이 되고, 따라서 이들의 교집합 C 역시 비어있지 않은 컴팩트 집합이 된다. 그리고 C의 르벡 측도가 0임을 쉽게 알 수 있다.

이제 함수열 φ_n : [0, 1] → [0, 1] 을 다음과 같이 정의하자.

[0, 1]의 원소 x가 C_n에 속할 때와 그렇지 않을 때로 나누면 부등식

이 성립함을 알 수 있으므로, φ_n이 연속함수로 이루어진 코시수열임을 안다. 따라서 φ_n은 어떤 연속함수 φ로 고르게 수렴한다. 그런데 각각의 φ_n이 단조증가 함수이므로, φ도 단조증가 함수가 되고, 따라서 다음과 같은 리만-스틸체스 적분을 생각할 수 있다.

위 적분의 값을 계산하기 위해서 다음과 같은 관찰을 하자.

위 식으로부터 다음 점화식이 얻어진다.

따라서 다음과 같은 결과를 얻는다.

$\phi_n (x) = \frac{1}{2^n \beta^n} \int_{0}^{x} \chi_{C_n}(t) \, dt$

$\int_{0}^{1} e^{ikx} \, d\phi(x)$

$\int_{a}^{a+\beta h} e^{ikx} \, dx + \int_{a+(1-\beta)h}^{a+ h} e^{ikx} \, dx = 2 \cos \left( \tfrac{1+\alpha}{4} k h \right) \frac{\sin \left( \frac{1-\alpha}{4} k h \right)}{\sin \left( \frac{1}{2} kh \right)} \int_{a}^{a+h} e^{ikx} \, dx$

$\int_{C_{n+1}} e^{ikx} \, dx = 2 \cos \left( \tfrac{1+\alpha}{4} \beta^n k \right) \frac{\sin \left( \tfrac{1}{2} \beta^{n+1} k \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \beta^{n} k \right)} \int_{C_{n}} e^{ikx} \, dx$

$\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1} e^{ikx} \, d\phi(x)
& = & e^{ik} - ik \int_{0}^{1} e^{ikx} \phi(x) \, dx \\
& = & e^{ik} - ik \lim_{n\to\infty} \int_{0}^{1} e^{ikx} \phi_n(x) \, dx \\
& = & e^{ik} - ik \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n\beta^n} \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} e^{ikx} \chi_{C_n}(t) \, dt dx \\
& = & e^{ik} - ik \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n\beta^n} \int_{C_n} \int_{t}^{1} e^{ikx} \, dx dt \\
& = & \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n\beta^n} \int_{C_n} e^{ikt} \, dt \\
& = & e^{\frac{ik}{2}} \lim_{n\to\infty} \frac{\sin \left( \frac{k}{2}\beta^n \right)}{\frac{k}{2}\beta^n} \prod_{j=0}^{n-1} \cos \left( \tfrac{1+\alpha}{4} \beta^j k \right) \\
& = & e^{\frac{ik}{2}} \prod_{j=0}^{\infty} \cos \left( \tfrac{1+\alpha}{4} \beta^j k \right)
\end{eqnarray*}$

$|\phi_{n+1}(x) - \phi_n(x)| \leq 2^{-n} \left( \frac{2-\alpha}{1-\alpha}\right)$