Step 1) 감마함수 Γ(1+z) 의 테일러 전개를 구해보자. Re(z) > -1 일 때, 르벡의 dominated convergence theorem을 이용하면
가 성립한다. 한편 우변의 극한 내의 적분을 t = n·sin2u 로 치환하여 계산해보면
이고, 이 식을 다시 풀어보면
임을 알 수 있다. 따라서, |z|<1 일 때
임을 알 수 있다.
Step 2) 베르누이 수의 정의를 알아보자. 0 이상의 정수 n에 대해 정의되는 베르누이 수 Bn은 다음과 같은 generating function에 의해 정의할 수 있다.
대표적인 베르누의 수의 값에는
B0 = 1
B1 = -1/2
B2 = 1/6
B4 = -1/30
B6 = 1/42
등이 있다.
Step 3) 이제 짝수 값에서의 제타함수의 값을 구해보자. 여기서 z를 0<z<1 을 만족하는 실수로 한정하면,
가 성립한다. 여기서 세 번째 등호는 오일러의 reflexion formula에 의한 것이며, 마지막 등호는 실수 x에 대해 eix의 절대값이 1임을 이용한 것이다. 한편 등식
로부터
임을 얻는다. 이제
와 위에서 구한 식을 비교하면 다음과 같은 최종적인 결과를 얻는다.
가 성립한다. 한편 우변의 극한 내의 적분을 t = n·sin2u 로 치환하여 계산해보면
이고, 이 식을 다시 풀어보면
임을 알 수 있다. 따라서, |z|<1 일 때
임을 알 수 있다.
Step 2) 베르누이 수의 정의를 알아보자. 0 이상의 정수 n에 대해 정의되는 베르누이 수 Bn은 다음과 같은 generating function에 의해 정의할 수 있다.
대표적인 베르누의 수의 값에는
B0 = 1
B1 = -1/2
B2 = 1/6
B4 = -1/30
B6 = 1/42
등이 있다.
Step 3) 이제 짝수 값에서의 제타함수의 값을 구해보자. 여기서 z를 0<z<1 을 만족하는 실수로 한정하면,
가 성립한다. 여기서 세 번째 등호는 오일러의 reflexion formula에 의한 것이며, 마지막 등호는 실수 x에 대해 eix의 절대값이 1임을 이용한 것이다. 한편 등식
로부터
임을 얻는다. 이제
와 위에서 구한 식을 비교하면 다음과 같은 최종적인 결과를 얻는다.
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잘보고 갑니다. 너무 어렵네요ㄷㄷ